Megoldották a 31 éve nyitott KLS-sejtést matematikában
A Microsoft Research kutatója, Xinzhi Zhang és társa bizonyította a Kannan, Lovász, Simonovits-sejtést, amelyet 1995 óta próbáltak megoldani. Az eredmény a Microsoft szerint a magas dimenziós geometria, a valószínűségelmélet és az elméleti számítástudomány fontos kérdését rendezi.
- Bizonyították az 1995-ben felvetett KLS-sejtést.
- A végeredmény szerint a korlát független a dimenziók számától.
- A kutatásban több mint 100 AI-segített megközelítést vizsgáltak.
- Független bizonyítások és Lean 4-es formalizálás is megerősítette az eredményt.
- A bizonyítás erősebb alapot adhat a geometria, a valószínűség és az elméleti számítástudomány kutatásának.
A KLS-sejtés tétje
A KLS-sejtés azt vizsgálja, hogy magas dimenziós valószínűségi eloszlások esetén egy egyszerű, síkkal végzett vágás közel olyan hatékony lehet-e, mint egy tetszőleges alakú vágás. A sejtés szerint a két megoldás hatékonysága között legfeljebb egy dimenziófüggetlen, univerzális konstansnyi különbség lehet, függetlenül attól, hány dimenzióban dolgozunk.
Ez a geometriai kapcsolat azért fontos, mert a vágások geometriája meghatározza, milyen gyorsan képesek a véletlen bolyongások bejárni egy eloszlást. Emiatt a KLS-sejtés a magas dimenziós mintavételezés elméletében is központi szerepet tölt be, és következményei lehetnek a statisztikára, az optimalizálásra, az algoritmusokra és a számítástudományra.
A Mathematical Sciences Research Institute 2017 és 2018 közötti éves jelentése a problémát a magas dimenziós konvex geometria egyik központi nyitott kérdésének nevezte. A Simons Institute az egyik legfontosabb nyitott problémaként hivatkozott rá.
Több lépésben jutottak el a bizonyításig
A kutatók először a 2026 júliusában ismertté vált eredményt pontosították. Ez még olyan korlátot adott, amely lassan ugyan, de növekedett a dimenziószámmal. A Microsoft Research beszámolója szerint a szerzők mesterséges intelligenciát használó, irányított kutatási folyamatban több mint 100 lehetséges megközelítést vizsgáltak meg. Ezek között hosszú, magasabb rendű tenzorokkal végzett számítások is szerepeltek.
A keresés során egy új matematikai kritériumot találtak, amelyet rekurzívan lehetett alkalmazni. Minden javított korlátot vissza lehetett táplálni ugyanabba az érvelésbe, így újabb, szorosabb korlát adódott. A tanulmány 2026. október 1-jei változata már csak az iterált logaritmus segítségével függött a dimenziótól, de ez a függés még nem szűnt meg teljesen.
A végső lépésben a kutatók az egész rekurzív finomítást újra és újra alkalmazták. Bizonyították, hogy az egyes lépésekben keletkező kis hibák elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy összegük egy dimenziótól független univerzális konstans alatt maradjon. Ezzel a dimenziószám függése megszűnt, és a bizonyítás elkészült a tanulmány 2026. október 4-i változatában.
Az AI keresett, az emberek irányítottak
A kutatásban használt AI-eszközök lehetséges megközelítéseket tártak fel, részletes levezetéseket készítettek, segítettek a kézirat előkészítésében és belső bizonyítás-ellenőrzéseket végeztek. A matematikai irányt, a használható ötletek kiválasztását, a végső érvelés összeállítását és a bizonyítás ellenőrzését azonban a kutatók végezték.
A folyamatban több ügynök párhuzamosan vizsgálta az ötletek különböző változatait. A kutatók közben elemezték a köztes eredményeket, elvetették a zsákutcákat, majd a legígéretesebb irányokat továbbították a következő körbe. A Microsoft szerint mintegy száz kutatási pályát próbáltak ki, mielőtt megszületett a döntő áttörés. Amikor több vezető AI-modellt hasonló teljes tokenkerettel, emberi irányítás nélkül is próbára tettek, ez nem vezetett megoldáshoz.
A bizonyítást független eredmények is megerősítették. Ugyanazon a napon egy másik kutatócsoport teljes bizonyítást tett közzé, egy harmadik pedig kapcsolódó ötletre épített. Később Lean 4-ben formális ellenőrzés is készült. A szerzők rövidített bizonyítást készítenek, és annak Lean-ellenőrzését is bővítik, hogy az eredmény könnyebben vizsgálható és felhasználható legyen.
Microsoft Research: Solving a 31-year-old grand challenge in mathematics – the KLS conjecture
